Это одна из самых трудных тем в школьной программе. Неудивительно, что у многих возникает вопрос: «Зачем мне это знать?» Ну, например, чтобы понимать, как работает GPS, идёт передача радиосигналов, распространяется и отражается свет, строят здания неправильной формы.

Вам всё ещё кажется, что сечения конуса — это скучно?

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №7(35). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Начнём с того, что построим конус. Для этого потребуется немного пространственного воображения. Рассмотрим две пересекающие­ся прямые в пространстве и начнём вращать одну вокруг другой. В результате образуется поверхность — её принято называть конической, отсюда и знакомый нам конус.

Теперь представим, что нашу коническую поверхность пересекает плоскость. След от конуса на этой плоскости называется сечением. Несложно заметить, что форма сечения зависит от угла наклона плоскости. Если плоскость перпендикулярна оси вращения, то сечением является окружность. Если плоскость имеет наклон относительно оси, образуется эллипс. Если плоскость составляет с осью тот же угол, что и образующая конуса, получается парабола. Наконец, при определённом угле наклона плоскость будет пересекать обе полости конуса — кривая распадётся на две ветви, и в сечении образуется гипербола.

Древнегреческий математик Менехм (ок. 380–320 г. до н. э.) решал задачу об удвоении куба и через неё пришёл к изучению конических сечений.

Менехм быстро понял, что циркуль и линейка ему не помогут. Но если помимо прямых и окружностей использовать кривые, получаемые при пересечении конуса плоскостью, то построение кубических корней становится осуществимой задачей.

Менехм предположил, что для построения отрезка, равного ³√2, достаточно найти пересечение двух конических сечений определённого типа, и предложил два решения этой задачи: пересечение параболы и гиперболы и пересечение двух парабол. Действительно, в первом случае пересечение параболы ­y = x² и гиперболы y = 2/x даст точку, абсцисса которой будет удовлетворять уравнению x² = 2/x, откуда x³ =2 => x = 3√2. Во втором случае пересечение двух парабол y =x² и y² =2x  даст ту же точку.

Долгое время конические сечения называли просто «триадой Менехма». Современные названия — парабола, гипербола, эллипс (окружность является частным случаем эллипса) — дал древнегреческий математик Аполлоний Пергский, который продолжил изучать сечения конуса и достиг в этом выдающихся успехов. Отметим, что термины абсцисса, ордината, асимптота также ввёл Аполлоний — в работах, посвящённых коническим сечениям.

Вернёмся ненадолго к Менехму. Он заметил, что конические сечения можно построить по точкам, причём они обладают определённым свойством — его принято называть геометрическим местом точек. Зная эти свойства, Менехм изобрёл механические инструменты, позволяющие строить конику.

Строгое геометрическое доказательство этих утверждений сформулировал бельгийский математик Данделен в 1822 году, тем самым связав планиметрические определения вышеуказанных кривых через фокусы с их стереометрическим определением как сечения конуса.

Данделен рассматривал конус, пересечённый плоскостью, не проходящей через вершину конуса, и вписывал в эту конструкцию шары так, чтобы они касались секущей плоскости и поверх­ности конуса. В случаях гиперболы и эллипса единственным образом можно вписать две сферы, а в случае параболы нижний шар однозначно не определяется и для доказательства не нужен.

Точки касания этих сфер плоскости сечения есть фокусы соответствующих кривых. Идеи доказательств очень просты и опираются в первую очередь на теорему об отрезках касательных. Например, в случае эллипса в силу единственности таких сфер, если мы проведём произвольную образующую ОР, где Р — точка на кривой, величина отрезка R₁P + PR₂ = R₁R₂ — константа (R₁ и R₂ — точки пересечения образующей и сфер). В то же время R₁P = PF₁ и R₂P = PF₂ равны как отрезки касательных прямых. Отсюда следует, что сумма расстояний от фокусов до произвольной точки эллипса Р — величина постоянная. Читатель может попробовать сам провести аналогичные доказательства для гиперболы и параболы. Это интересная задача, решение которой под силу любому старшекласснику.

Рассмотрим два источника круговых волн F1 и F2. Это могут быть волны на воде, электромагнитная или звуковая волна. С точки зрения геометрии это семейство концентрических окружностей, которые пересекаются в некоторых точках плоскости. Удивительно, но эти точки тоже образуют семейство концентрических эллипсов и гипербол, имеющих общие фокусы непосредственно в точках — источниках волн. Это легко доказать, рассчитав расстояния от точек соответствующих кривых до фокусов. В случае эллипса сумма расстояний будет величина постоянная, в случае гиперболы — разность.

Отметим, что через каждую точку пересечения проходит единственная гипербола и эллипс. Это свойство имеет практическое значение — например, для работы GPS. Остановимся на нём подробнее.

Местоположение объекта, оснащённого GPS–устройством, определяется как минимум тремя навигационными спутниками. Происходит это следующим образом: любые два спутника и объект находятся в одной плоскости, это следует из геометрической аксиомы. Объект фиксирует время приёма синхронно посланных сигналов со спутников, местоположение которых хорошо известно. На основе этих данных объект без труда рассчитывает гиперболу, на которой находится. Получив аналогичную информацию от другой пары станций, система находит точку пересечения двух гипербол и определяет положение объекта.

Но нужно учитывать релятивистские эффекты, возникающие из-за большой скорости движения спутников — порядка 14 000 км/ч. Согласно Специальной теории относительности, время на спутнике будет замедляться для наблюдателя с Земли примерно на 7 микросекунд в день. Но из-за искривления пространства–времени спутники находятся в 20 000 км от Земли. А согласно Общей теории относительности время вдали от массивных объектов идёт быстрее — в нашем случае примерно на 45 микросекунд опять же для наблюдателя с Земли. В итоге день для спутника заканчивается на 38 (45–7) микросекунд быстрее, чем для нас. Этого расхождения достаточно, чтобы навигационная система накопила ошибку порядка 10 км.

Из геометрической оптики известно, что угол падения равен углу отражения. Что же происходит, когда луч отражается не от плос­кой поверхности, а от криволинейной? В этой ситуации принято проводить касательную к отражающей поверхности и отмерять углы падения и отражения именно от касательной.

У кривых второго порядка интересные оптические свойства, которые широко применяются в современной технике.

Парабола

Поместим в фокусе параболы точечный источник света. Лучи, отразившись от параболы, будут распространяться параллельно оси её симметрии, а фронт волны пойдёт перпендикулярно. 

Верно и обратное: если на параболу падает поток лучей, параллельных оси, то, отразившись от параболы, они сконцентрируются в её фокусе. Но с практической точки зрения нас будет интересовать фигура, получающаяся при вращении параболы вокруг своей оси,  — параболоид.

В ракетном двигателе сопло используется для ускорения горячего выхлопного потока. В результате возникает тяга, приводящая в движение ракету, благодаря третьему закону Ньютона. Особо стоит отметить конвергентно-дивергентное сопло, или сопло Лаваля. Оно состоит из двух соединенных между собой конических отсеков. В первом происходит горение топлива, попадая во второе сопло газ расширяется, его температура и давление падают, а скорость возрастает. КПД подобных систем может превышать 70%, что значительно превосходит КПД реальных тепловых двигателей других типов.

Мак полярный (лат. Papaver radicatum) распространен в арктическом поясе Северного полушария. Цветы, растущие в условиях короткого лета и недостатка солнечного света, недораскрывают лепестки так, что получается параболоид. Как правило, это альпийские и арктичес­кие цветы: прострел альпийский, беквичия ледниковая и полярный мак. Форма, которую принимает цветок, позволяет концентрировать солнечные лучи и накапливать тепло в середине, что ускоряет созревание семян и привлекает насекомых-опылителей.

Сверхбольшая Антенная Решётка — группа из 27 объединенных радиотелескопов (США). Зеркальная антенна имеет форму параболоида, в фокусе которого расположен приёмник или излучатель. Внешний корпус параболоида называют рефлектором, или зеркалом, отсюда и название. Первую подобную антенну сделал немецкий физик Генрих Герц в 1887 году.

Эллипс

Поместим в один из фокусов эллипса точечный источник излучения — лампочку. После того как мы его включим, все лучи соберутся на другом фокусе — одновременно, так как они пройдут одинаковое расстояние.

Таким образом, мы можем направлять волны большой энергии из одной точки и концентрировать их в другой. Это свойство эллипса нашло применение в медицине — например, в дистанционной литотрипсии: безопасном методе дробления камней в почках ультразвуком.

Аппарат для этой процедуры имеет конструкцию полуэллипса, в фокусе которого устанавливают источник ультразвука — так, чтобы во втором фокусе находился камень. Волны свободно проходят через ткани, не травмируя их, но, сконцентрировавшись, способны разрушать твёрдые предметы. Аналогичным образом работают аппараты лучевой терапии для лечения раковых заболеваний.

Гипербола

Если вращать гиперболу относительно прямой, перпендикулярной линии фокусов, то получится однополостный гиперболоид — интересная с точки зрения архитектуры конструкция. Оказывается, точно такая же поверхность образуется, если вращать одну скрещивающуюся прямую относительно другой. То есть через каждую точку гиперболоида проходят ровно две прямолинейные образующие.

Всё множество образующих делится на два семейства — прямые из каждого при вращении переходят друг в друга и являются параллельными. Это позволяет из прямолинейных элементов собирать изогнутые поверхности, и, кроме того, с точки зрения архитектуры гиперболоидная конструкция является жёсткой: если балки соединить шарнирно, она будет сохранять форму и устойчивость под действием внешних сил. При установлении балок в форме решётки вдоль образующих параболоида уменьшается опасность ветровой нагрузки, а ещё такая постройка имеет малую материалоёмкость.

Неудивительно, что конструкции с элементами однополостного гиперболоида были и будут востребованы. 

Торгово-развлекательных центр «Хан Шатыр» (Казахстан)

Башня Кобе Харборленд (Япония)