Однажды десятилетний мальчик по имени Карл поставил в тупик своего учителя арифметики, решив очень трудную задачу за считанные секунды. В будущем Карл стал одним из величайших ученых, заслужив неофициальный титул “Короля математики”. А все началось с этого маленького открытия в школе. Так что же придумал Карл?

Дело было так. Учитель решил занять детей и заодно немного отдохнуть. Он задал классу, по его мнению, очень трудное задание. Задание было следующим: посчитайте сумму всех чисел от 1 до 100. Как бы вы посчитали такую сумму? 

1+2+3+4+5+ … +96+97+98+99+100 =? 

В те времена, такие задачи решали методом “в лоб”: долго и нудно складывая все числа от 1 до 100.
1+2=3, 3+3=6, 6+4=10 и так далее. И пока дети решали бы задачу, «грызли гранит науки», учитель надеялся немного отдохнуть. В зависимости от навыков сложения, кто-то справлялся быстрее, а кто-то медленнее, кто-то получал верный ответ, а кто-то - нет. 

Каково же было удивление учителя, когда спустя всего несколько секунд, десятилетний Карл поднялся со своей скамьи, уверенным шагом прошел к учительскому столу и выложил на него листок бумаги, со словами: “вот решение”. Карл показал листок, на котором было написано лишь одно число - 5050. Учитель не поверил, что возможно так быстро решить задачу и подумал, что паренек хочет над ним подшутить. Согласно легенде, мальчик за это получил нехилую взбучку (был такой варварский обычай в школах тех времен).

Но ответ был правильный и на вопрос учителя, о том, как Карлу удалось так быстро найти решение, мальчик ответил, что заметил закономерность. Сумма первого и последнего числа 1 и 100 равна 101, сумма второго и предпоследнего числа - 2 и 99 также равна 101. Карл заметил, что это справедливо для всех пар чисел заканчивая последней парой - 50 и 51. И всего таких пар от 1 до 100 было 50. Таким образом, Карлу Гауссу осталось посчитать 50 раз по 101, иначе говоря, умножить 50 на 101 и получить конечный ответ- 5050!

Попробуем усложнить задачу. Предположим, что нам нужно посчитать сумму всех цифр от 1 до n, где n-любое натуральное число (их еще называют естественными числами, возникающими естественным образом при счете).

Получится ли решить такую задачу способом Гаусса? Оказывается, что да. Для удобства предположим, что число n четное, так как сама постановка задачи о делении всех чисел на пары подразумевает, что их четное количество.

Заметьте, что сумма каждой пары равна n+1 и что количество таких пар n/2. Нам остается лишь перемножить сумму каждой пары (n+1) на количество пар (n/2) по аналогии c задачей, с которой столкнулся Карл. Обозначим сумму буквой S.

S=(n+1)*n/2 (при условии, что n - четное натуральное число).

А что если n - нечетное число, что делать тогда?

1+2+3+4+5+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=? , где n-нечетное натуральное число

Или первое число не равно единице?

2+3+4+5+....+(n-3)+(n-2)+(n-1)+n=?

Или разница между соседними числами не один, а скажем три?

2+5+8+11+...+(n-3)+n=?

Или нам нужно посчитать такую сумму:

a ₁ + a₂ +a₃+ … a_(n-1) + a_n=?, где a₁, a₂..a_n - это последовательность чисел.

И единственное, что их объединяет с числами, которые суммировал Карл - это закономерность, связывающая соседние элементы между собой. Каждый следующий элемент получается из предыдущего путем прибавления одного и того же числа. Обозначим это общее для всей последовательности число как d и a _n=a_(n-1) + d. Таким образом, каждый элемент последовательности можно представить так:

a ₁, a₁ + d, a₁ + 2d, ..., a₁ + (n - 1)d, ... _j

Мы только что дали определение арифметической прогрессии и d - разность прогрессии.

Последовательность - упорядоченный список элементом, в данном случае в качестве элементов выступают числа.

Оказывается логика, которой руководствовался Гаусс, верна и в этом случае. Для того чтобы это показать, нам нужно слегка модифицировать трюк Карла и разбить пары несколько иначе. Помня, что от перестановки мест слагаемых сумма не меняется, обозначим сумму такой последовательности как S и запишем ее двумя зеркально разными способами.

S = a ₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n-2 + a_n-1 + a_n

+

S = a _n + a_n-1 + a_n-2 + ... + a₃ + a₂ + a₁

=

2S = (a ₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + ... + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n) + (a₁ + a_n)

Прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали. Так вот все эти пары равны между собой. Как бы вы это показали? Я думаю, что наш друг Карл заметил бы особенность таких пар: если начинать с первой пары (a ₁+a_n), то в каждой следующей паре первое слагаемое пары увеличивается на d, тогда как второе уменьшается на d и, в конечном счете, сумма не меняется и равна (a₁+a_n). Учитывая, что таких пар n делим обе части равенства на два, получаем:

2S_n= (a₁ + a_n)n

S_n = ((a1 + an)/2)n

Получаем формулу суммы арифметической прогрессии. Если вспомнить, что любой элемент прогрессии выражается через первый элемент a₁ и разность прогрессии - d, то можно переписать формулу суммы следующим образом:

a_n = a₁ + (n - 1)d 

S_n = ((2a₁ +  d(n - 1))/ 2)n