Кто придумал ноль? Как он стал частью привычной нам математики? Да, тот самый ноль (или нуль – оба варианта правильны), который мы обозначаем знаком, похожим на букву «О», без него немыслима современная математика и десятичная система счёта. Нам, живущим в XXI веке, кажется, что ноль существует так же давно, как и само человечество. На самом деле ноль появился относительно недавно.

Развитие математики идёт нога в ногу с развитием человечества. Математика началась с самого простого, с того, что первобытному человеку понадобилось нечто, чем он мог бы обозначать количество предметов. Например, охотник, чтобы объяснить другому охотнику, что видел «трёх мамонтов в двух днях ходьбы, возле пяти скал» использовал жесты и пальцы рук. Но вскоре эти жесты получили конкретные письменные обозначения – так появились первые числа. Как вы сами догадываетесь первобытным людям незачем было использовать понятие ноль.

Ведь «ноль мамонта» или «ноль скал» в природе нет. То есть число ноль было невостребованным в древние времена.

Время шло, и человечеству понадобилось всё больше и больше чисел. Если раньше для обозначения стада из восьми коров, люди делали восемь чёрточек, то, когда их количество стало, например, сто, то для удобства счёта люди начали объединять объекты в группы по 3, 5, 7 и 10. Такая группировка упрощала счёт. Анатомия рук человека, а именно то, что мы имеем по пять пальцев, стала основой для популярности групп по 5 и 10. Далее люди начали группировать десятки по десяткам (так появились сотни), сотни по десяткам (так появились тысячи) и так далее. Для обозначения их тоже придумали специальные символы (числа). Например, в древнем Египте использовали следующие символы.

Любые другие числа записывались путём повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от 1 до 9 раз. Например, число 4622 обозначалось следующим образом:

Обратите внимание! Не важно, в какой последовательности расположены символы, в итоге у вас всегда получится ровно 4622. Подобные системы счёта называют непозиционными, так как расположение цифр (позиция в записи) не имеет значения. Первые системы счёта были непозиционными. Как видите, в этих системах, как правило, не требовалась цифра ноль.

Недостатки непозиционных систем счёта – их громоздкость и непрактичность. Например, представим запись двух чисел 3000 и 2998. Эти числа отличаются только на две единицы и в привычной нам арабской записи эти числа займут одинаковое место в тетради, но давайте посмотрим, как они будут выглядеть в непозиционной древней египетской записи:

Как же люди решили эту проблему? Чтобы ответить на этот вопрос, перенесёмся в древний Вавилон. Тут произошло одно очень значимое для математики событие – была открыта позиционная система счёта. Вавилонские математики рассудили, что для обозначения всех чисел им достаточно будет только два символа: первый – стоячий клин для обозначения единиц, и второй – лежачий клин для обозначения десятков (они использовали шестидесятеричную систему счисления, ниже мы объясним как это работает). Давайте разберёмся, как они пришли к этой простой идее. Для начала вспомним, что люди при счёте стремились группировать объекты: десятки десятков – это сотня, десятки сотен – это тысяча и так далее. Вавилонским математикам было удобно группировать по 12 объектов, но в 5 групп (помните про количество пальцев?), так появилась шестидесятеричная система счисления (12 х 5 = 60) Почему они выбрали за основу счёта 60, вместо, казалось бы, удобных нам 10? Кстати, мы тоже используем эту систему при измерении времени (60 минут – это 1 час и так далее). Из-за удобства, ведь 60 можно разложить на большее количество множителей ( 2*2*3*5 = 60), чем 10 ( 2*5 = 10).

Так как же выглядели вавилонские числа?

Как, например, вавилонцы записывали числа 62? Давайте попробуем разобраться. Число 62 имеет вид . Заглянем в таблицу, по ней видно, что эта запись имеет для нас такой смысл – «1 2». Как же так? Ведь мы имели ввиду число 62. Не торопитесь, всё верно, только нам следует обратить внимание на пробел между этими цифрами и вспомнить, что в зависимости от позиции цифры могут нести дополнительный смысл. Так вот, крайняя левая «единица» показывает число полных групп, в нашем случае это означает, что в числе есть 60 единиц, далее следует 2. В итоге означает 1х 60 + 2 = 62. Всё просто. Но как случайно не спутать число ( число 2) с (число 61)? Визуально они не сильно отличаются друг от друга (не каждый разглядит пробел). Сначала вавилонцы мирились с этой проблемой и должны были догадываться из контекста задачи, о каком числе идёт речь. Но в итоге нужно было заменить эту пустоту неким символом, так появился ноль.

Цифра ноль пришла к нам вместе с арабскими цифрами, которые в свою очередь попали к арабским математикам из Индии. Первое изображение ноля выглядело как кружок, чуть меньший по размеру, чем прочие цифры – его нашли в записи числа 270, которое было изображено в 876 году на стене индийского города Гвалиора.

Позже индийские математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара писали, что если из одного числа вычесть его же, то получится ноль. Это и есть знакомое нам определение числа ноль, то есть ноль – это не понятие отсутствия числа, а число, и он стал использоваться в расчётах. Теперь всего десятью цифрами можно было записать любое, даже самое большое число. Это была революция в математике.

Сперва цифру ноль называли индийским словом «сунья» («пустое»). Арабы перевели это как «сыфр», от которого и произошло слово «цифры».

Но даже узнав о «восточной диковинке» (ноле), европейские учёные долго не решались использовать её – ведь это число ничего не исчисляет!

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи одним из первых заинтересовался индийской системой счёта, и это позволило ему сделать ряд важнейших открытий и закономерностей. Но его пропаганда столь удобного способа записи и счёта не возымела особого действия на средневековых учёных. И даже в XVI веке математики продолжали всячески избегать ноля, упорно придерживаясь античной системы счёта и полагаясь на счётные доски.

Однако, как показала практика, ноль был таким же решающим прогрессивным изобретением, как и колесо. Эту простую и удобную систему сразу же оценили банкиры и купцы, которые считали вполне реальные деньги, а не извлекали воображаемые корни из воображаемых чисел в пыльной библиотеке. Уже в XV веке простой, неучёный люд считал с помощью индийских цифр, опережая учёные умы на столетия. Окончательно же десять знаков, включая ноль, утвердились в европейской науке лишь к началу XVIII века.

Есть два способа использования ноля и оба – очень важные. Первый – ноль указывает пустой разряд в нашей десятичной позиционной системе счисления. Второй способ использования ноля – это число, которое мы обозначаем 0. 

1. Ноль (от лат.Nullus – никакой) – цифра и одновременно число.
2. Ноль не имеет знака.
3. Ноль – это число, отделяющее на числовой прямой положительные числа от отрицательных.
4. Ноль – целое число.
5. Ноль – чётное число, поскольку при делении ноля на 2 получается целое число ноль.
6. Ноль – это нейтральный элемент для операции сложения. Любое число при сложении с ним не меняется:
7. a + 0 = 0 + a = a
8. При вычитании ноля из любого числа получается то же число:
9. a - 0 = a
10. Умножение любого числа на ноль даёт ноль:
11. a 0 = 0 a = 0
12. При делении ноля на любое ненулевое число получается ноль:
13. 0 : a = 0, при этом а не равно нолю.
14. На ноль делить нельзя!
15. Выражение 0 : 0 не имеет смысла.

Последние два свойства ноля заслуживают особого внимания. Любой взрослый ещё со школы помнит, что на ноль делить нельзя. Почему нельзя – обычно никогда не объясняют. Просто нельзя и точка! Ну нельзя, значит, нельзя. Давайте сами разберёмся.

Предположим, что можно делить на ноль. Разделим любое число на ноль:

7 : 0 = х.

Следовательно,

0 х = 7.

То есть, надо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 7. Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0. Значит, такое число просто не существует. То есть, наша задача не имеет решения, а сама запись не имеет смысла. Поэтому бессмысленность этой записи кратко выражают фразой: «На ноль делить нельзя».

А можно ли ноль делить на ноль?

Опять предположим, что можно:

0 : 0 = х,

Следовательно,

0 x = 0, и это уравнение благополучно решается.

Например, можно взять x = 0, и тогда получаем 0 0 = 0. Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1. Получим 0 1 = 0. Значит, 0 : 0 = 1? Но ведь так можно взять любое число и получить 0 : 0 = 5, 0 : 0 = 518 и т. д. Мы не можем остановить свой выбор на каком-то одном числе и сказать, что именно ему соответствует запись 0 : 0. А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что ноль на ноль тоже делить нельзя.