Ерте заманнан-ақ ғалымдар мен философтар басқалардан өзгеше тұжырымдар бар екенін байқаған. Оларды қалай түсіну керектігі белгісіз еді. Бір қызығы — олар әлі күнге дейін түсініксіз. Бұл жұмбақ емес, себебі оның жауабы жоқ. Мұндай пайымдауларды парадокс деп атайды.

Көптеген парадокстар ерте уақытта логика деп аталатын ғылым пайда болуымен туындаған еді. Бұл ғылым, көп жағдайда, не шындыққа жанасатын (шынайы) немесе жалған (өтірік) пайымдарды зерттейді.

Ең танымал және көне парадокстың бірі – «Өтірікшінің парадоксы» деп аталады. Мысалы, біреу: «Менің қазір айтып тұрғаным – өтірік» немесе «Мен өтірік айтамын» деді. Оның бұл сөздерінің тек қана екі мағынасы болуы мүмкін – не шындықты растау (бұл шынымен солай), немесе жалған (шындығында олай емес). Сонымен, оның сөзі шындық делік, яғни «Мен өтірік айтамын» деген адам шындығын айтып тұр. Алайда, ол шын айтып тұрғандықтан, оның «Мен өтірік айтамын» деген сөзі – өтірік. Нәтижесінде, егер пайымдау шындық болса, бұл оның өтірік екеніне алып келеді.

Ал енді бұл олай емес, оның айтып тұрғаны өтірік екенін қарастырып көрелік. Яғни, мен «Өтірік айтамын» дей тұра, ол алдап тұр. Алайда, бұл жағдайда ол шын мәнінде өтірік айтады және оның «Мен өтірік айтамын» деген мақұлдауы – шындық. Енді біздің пайымдау – өтірік деген тұжырымымыз, оның шындық екеніне алып келеді. Рас, қанша айналдырсақ та – мұндай пайымдауды біз бір уақытта шынайы және жалған деп қабылдауға мәжбүрміз. Міне, бұл – парадокс!

Өтірікшінің парадоксы негізінде көптеген парадокстар туындаған, олардың барлығы логикалық деп аталады. Мысалы, белгілі ертегі кейіпкері Буратино таңғажайып қасиетке ие: ол өтірік айтқан кезде, оның мұрны ұзарады. Ендеше, егер ол «Қазір менің мұрным ұзарады» дейтін болса, Буратиноның мұрнына не болады?

Логикалық тұрғыда талқылап байқайық. Егер Буратино шындықты айтса, оның мұрны ұзармауы керек. Алайда, егер мұрын ұзармаса, Буратино өтірік айтты деген сөз және оның мұрны ұзаруы тиіс.

Енді Буратино өтірік айтты делік, онда оның мұрны ұзарады. Әйтсе де, егер мұрын ұзарса, Буратино шындықты айтты, сәйкесінше мұрын ұзармауы керек. Мүмкін, Папа Карлоның айлакер ұлы мұндай жағдайды пайдаланып, парадокс туралы есепті шешімсіз қалдыруды жөн көрген болар, нәтижесінде оның мұрны тоқтап қалды да, енді ұзармайтын болды.

Логикалық түрінен басқа парадокстардың өз-өзіне қатысты деген түрі бар. Мұндай парадокстың басты кейіпкері өзінің шарттарын өзіне қолданып көрмек болады. ХХ ғасырдың басында танымал британдық философ және математик Бертран Рассел математикалық теориялардың бірімен айналысу үстінде, келесі парадоксты ойлап тапты.

Бір ауылда жалғыз сақал-мұрт қыратын шаштараз болды. Оның жұмысының қатаң ережесі бар еді: ол тек қана өздері қырынбайтын ауыл тұрғындарын қырындыруы керек. Бір қарағанда, тәп-тәуір ереже секілді. Дегенмен, шаштараздың өзінің де сақал-мұрты өседі, осы кезде сұрақ пайда болды: ол өз сақалын өзі қыра ала ма?

Нәтижесінде, қыра алатын және қыра алмайтын болып шығады. Өзің ойлап қарашы: 

Бертран Рассел — ағылшынның көрнекті философы, логигі, қоғам қайраткері. Расселдің математикалық логика мен қатынастар логикасы жөніндегі еңбектері логикалық ғылымға енген зор үлес болды. 1950 жылы әдебиеттен Нобель сыйлығының лауреаты атанды.

Мектептегі математика сабағынан барлығымыз натурал сандардың не екенін жақсы білеміз: 1,2,3,4,5… және осылай шексіз жалғаса береді. Дегенмен, шексіздік сөзінің түсінігі бұл сандардың парадоксалды сипаттарына алып келді.

Натурал сандардың ішінде жұп сандардың бар екені белгілі. Кейде натурал сандар жұп сандарға қарағанда көп сияқты көрінеді. Бір жағынан логикаға да қонымды, себебі жұп сандар — натурал сандардың бір бөлігі ғана емес пе?

Алайда, математика натурал сандар қанша болса, жұп сандардың да сонша екенін алға тартады! Көз алдарыңа екі жолды елестетіп көріңдер, оның біріншісінде барлық натурал сандар, екіншісінде бірінші жолдағы әр санды екіге көбейткен кезде алынған сандар тізілген (яғни 1×2 = 2, 2×2 = 4, 3×2 = 6, 4×2 = 8, 5×2 = 10…):

Осылайша, егер сандар жазылған осы екі жолды шексіз жалғасытыра берсек, онда әрбір натурал санның астында жұп сан тұратын болады. Олай болса, жұп сандар натурал сандардан аз емес.

Шексіздіктің бұл ғажайып сипатына XVII ғасырда атақты италияндық ғалым Галилео Галилей назар аударған және алғашқылардың бірі болып осы парадоксты тұжырымдаған.

Галилео Галилей — итальян философы, математик, физик, механик және астроном, табиғаттану ғылымдарының негізін салушы, өз заманындағы ғылымға өте қатты әсер еткен. Ол ұлы ғалым болумен бірге, музыкант, суретші, ақын, әдебиетші де болған. Галилей - тәжірибелі физика мен классикалық механиканың негізін қалаушы.

Парадокстар тек математикада ғана емес, егер физикалық процестерге ойша қарайтын болсақ, физикада да пайда болады. Тіпті, ерте заманның өзінде-ақ, ғалымдар сезім мүшелерінің бізді алдауы мүмкін екенін және табиғатты зерттеу барысында әрдайым оларға сене бермеу керектігін жақсы түсінген. Мысалы, біз Күн Жерді айналмайтынын, мүлде керісінше екенін білеміз. Сондай-ақ біздің көзіміз оларды көрмесе де, молекулалардың бар екені де белгілі.

Енді бір парадокстар бір қарағанда ғана сондай сияқты болып көрінеді, ал шындығында — ешқандай парадокс емес. Аңыз бойынша, баяғыда бір философты өлім жазасына кесіпті. Ол түрмеде отырып, үкімнің жүзеге асуын күтеді. Жексенбі күні түрме басшысы келіп, оны екі ереже бойынша жазалайтынын жеткізеді: біріншіден, өлім жазасы келесі аптаның бір күнінде, түс уақытында болады, екіншіден, жазаны жүзеге асыратын күн тұтқын үшін беймәлім болмақ.