ПОДПИСКА НА ВЕБ-САЙТ. ПРЕИМУЩЕСТВА:
Доступ к эксклюзивным статьям на сайте
Приглашение на образовательные лекции и мастер-классы
Возможность просматривать на всех мобильных устройствах и планшетах
Отличная цена: всего 200 тг в месяц!
В школе мы проходим различные темы по арифметике, алгебре и немного математического анализа. Каждый раздел содержит огромное количество теорем, лемм и гипотез от которых идет кругом голова. Как вы думаете, возможно ли определить самые значимые из них?
Эта статья была опубликована в журнале OYLA №2. Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.
1. Основная теорема арифметики
Арифметика учит нас складывать и вычитать, умножать и делить. Это первый раздел математики, с которым сталкивается каждый человек не только в школе, но и в жизни.
Задача. Сколько денег надо взять с собой в магазин, чтобы купить килограмм муки, два литра молока и десяток яиц для пирога?
Допустим, у вас получилось 1001 тенге. Представим, что вы решили собрать эти деньги среди друзей. Вы должны определить сумму, которую внесет каждый для получения своего кусочка пирога. И количество друзей, при котором все останутся сытыми.
В математике подобные задачи называются задачами разложения числа на множители.
Вы можете собрать по 77 тенге среди 13 друзей или по 143 тенге, но уже только с 7 человек. Обратите внимание, что дальнейшее разложение приводит к одному и тому же результату.
Решение подобных задач (разложения чисел на множители) имеет огромное практическое значение в различных областях математики: от простого счета до криптологии. Вы уже сталкивались с подобными задачами при сокращении дробей и вынесении общего множителя за скобки.
Задача. Рассмотрим для примера еще пару чисел — 88 и 5 724 547. Сможем ли представить их, как произведение других целых чисел?
Дальнейшее разложение невозможно, так как искомое число уже представлено в виде произведения простых чисел. В этом принципе заключена основная теорема арифметики:
Всякое целое положительное число, больше единицы, может быть представлено в виде произведения простых чисел.
Эта теорема была известна еще древним ученым, но только в 1799 году великий немецкий математик Карл Гаусс смог ее доказать.
Почему простые числа так важны?
Натуральные числа бывают трех видов:
- Единица. Имеет только один натуральный делитель — единицу.
- Простое число. Имеет только два натуральных делителя, себя самого и единицу.
- Составное число. Имеет более двух делителей.
Простые числа служат кирпичиками, из которых мы можем получить любое другое число (согласно основной теореме арифметики). Простых чисел существует бесконечное количество (доказательство приводил еще Евклид), но на практике мы знаем простые числа до значения 1018. Поиск простых чисел является одним из интереснейших разделов теории чисел.
2. Основная теорема алгебры
Математика может очень точно решить любые проблемы или доказать, что решения не существует.
При поиске решения для начала необходимо сформулировать задачу на языке математики, часто это означает описание ее в виде уравнения. Далее мы применяем свойства и правила этого языка для нахождения ответа.
Задача. Допустим нам необходимо найти точки пересечения параболы и прямой. Запишем задачу в виде уравнения:
Приведенное уравнение имеет следующие корни х=7, х=–3. Зная их, мы можем переписать исходное уравнение следующим образом: x 2 — 4x — 21 = (x — 7)(x + 3) = 0
Решение уравнений — многочленов сходно задаче разложению этих уравнений на «множители». «Множителями» выступают уравнения с меньшим степенным порядком. Возникает вопрос: всегда ли это мы можем сделать? Ответ на этот вопрос дает основная теорема алгебры:
Любой многочлен вида x n + an—1xn—1 + an—2xn—2 можно разложить в произведение многочлена вида (x — a) и многочленов второй степени вида (x 2 + px + q), не имеющих корней; причем это разложение единственно: два таких разложения отличаются только порядком сомножителей.
Приведем примеры:
Следствием этой теоремы является вывод о том, что многочлен n-й степени может иметь не более n корней, причем ровно n корней оно имеет только если оно раскладывается в произведение различных множителей вида (x — a).
3. Основная теорема анализа
Мы знаем, что умножения и деления взаимно обратные операции, если некоторое число умножить на Х, а потом разделить на то получится исходное число, точно так же если сперва разделить, а потом умножить. К подобным операциям относятся также сложение и вычитание, а в 17 веке их ряд пополнили операции интегрирования и дифференцирования.
Предположим, что мы имеем функцию, которая описывает, как ведет себя мощность двигателя во время поездки: f(t) =in(t).
Допустим, путь автомобиля пролегает по горной местности. Сначала он поднимается в гору, а потом съезжает с нее. Как видно на графике, мощность двигателя возрастает при подъеме и убывает при спуске. На практике, чаще всего нам важно узнать одно: сколько бензина было потрачено? Для этого надо понять какая работа была совершена (сколько энергии было потрачено). Из физики мы знаем, что мощность, умноженная на время, определяет работу: A(t) = N(t)t.
Необходимо рассчитать площадь фигуры под графиком функции мощности. Осуществить это нам поможет знаменитая формула Ньютона-Лейбница, которую также называют основной теоремой анализа:
Если f непрерывна на отрезке [a, b] и Ф — её любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство:
Эта формула связывает воедино две геометрические задачи: нахождение площади фигуры и проведение касательной к графику функции. Причем касательная задает границы искомой фигуры.