30 июня 2017 г. | Автор: Назгуль Адилбекова
Медиана, мода и среднее

Каков средний возраст современного кинозрителя? (величина А)

Какой самый популярный фильм 2016 года? (величина В)

Чему равен максимальный возраст младшей половины аудитории фильма «Кунг-фу Панда»? (величина С)

Такая информация всегда необходима кинокомпаниям, может быть полезна владельцам кинозалов и даже может заинтересовать кинозрителей. Знаете, что общего у этих разных, на первый взгляд, величин? Величины А, В и С являются серединами. О них мы и поговорим.

Начнём с того, что все эти величины – А, B и С – можно определить только тогда, если у вас есть данные. В первом случае, это количество людей, посетивших кинотеатры и их возраст. Во втором – список фильмов 2016 года и количество билетов, проданных на каждый фильм. И в последнем случае – это количество людей, посмотревших фильм «Кунг-фу Панда» с указанием их возраста.

Проанализировав и обработав имеющиеся данные, мы можем найти значение величин А, В и С. Каждая из названных величин является «центром» или «серединой» этих данных. В математической статистике их называют средним арифметическим (А), модой (В) и медианой (С). Эти величины несут в себе определённую информацию об имеющихся данных и могут быть полезными в повседневной жизни. Чтобы было понятно, объясним это на примере.

Средняя величина – это усреднённый показатель, который уничтожает индивидуальные различия и даёт обобщающую характеристику показателю. Бывают случаи, когда средняя арифметическая не совсем подходит для решения поставленной задачи и даже может ввести в заблуждение. Тогда используются другие средние величины – мода и медиана. Мода и медиана – важные показатели, они отражают структуру данных и, в отличие от средней арифметической, не погашают индивидуальных различий изучаемого показателя. Поэтому они являются дополнительными и очень важными характеристиками и на практике часто используются вместо средней арифметической либо наряду с ней.

Среди школьников четвёртых классов провели годовую контрольную по математике. Класс, который покажет наилучший результат, наградят поездкой в летний лагерь. В каждом классе по 30 учеников. Победителя решили определить, вычислив среднюю арифметическую оценку по каждому классу.

Самый распространённый вид средней величины – средняя арифметическая. Как она считается, знают все: нужно сложить все слагаемые и сумму разделить на количество этих слагаемых.

Результаты получились следующими:

Наивысший результат показал 4 «В» класс. «Ура! Мы едем в лагерь!» – обрадовались ученики 4 «В» класса. Но тут возмутились ученики 4 «А» и 4 «Б» классов: «Мы должны поехать в летний лагерь, у нас больше «пятёрок»! Директор был в замешательстве: «Что делать?»

Тогда учитель математики предложил посчитать моду.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение в данных. Мода применяется, например, на обувных фабриках, при определении самого «ходового» размера обуви, то есть пользующегося наибольшим спросом у покупателей. В самом деле, не будут же производители обуви ориентироваться на средний размер обуви и шить всю обувь среднего размера. 

Посчитали моду:

По этому показателю лучшими оказались 4 «А» и 4 «Б» классы – у них самой «модной» оценкой оказалась «пятёрка», тогда как в 4 «В» «модная» оценка была ниже – это была «четвёрка». Директор был озадачен: «Получается, что нужно поощрить сразу два класса, но количество мест в лагере ограничено!» Тогда ученики 4 «А» начали говорить, что они всё равно лучше, потому что у них «пятёрок» больше, чем у 4 «Б». В ответ на это 4 «Б» возмущённо сказал: «Зато у нас троек меньше, чем у вас. Должны ехать мы!» Директор школы опять оказался в затруднительном положении. Но неунывающий учитель математики предложил рассчитать медиану.

Медиана – это некая отметка, делящая ранжированные данные (отсортированные по возрастанию или убыванию) на две равные части. Она расположена в центре ранжированного ряда. То есть половина исходных данных по своему значению меньше этой отметки, а половина – больше.

Вот как нужно находить её в наборе данных.

  1. Расположите числа по возрастающей.
  2. Если в наборе данных насчитывается нечётное количество чисел, выберите то, которое расположено точно посередине. Это и есть медиана.
  3. Если в наборе данных чётное количество чисел, найдите среднее значение двух чисел, которые расположены посередине, это и будет медианой.

Посчитали медиану:

«Ну теперь точно поедем мы!» – радовался 4 «А», наша медиана «4,5», а у 4 «Б» и 4 «В» – «четвёрка». Это значит, что половина нашего класса получила отметку выше, чем 4,5 (то есть только пятёрки), а у других классов эта же половина получила отметку выше «4» (то есть не только «пятёрки», но и «четвёрки»).

Но тут подал голос 4 «В», до этого не вступавший в спор: «А у нас вообще «троек» нет, значит, у нас нет отстающих, и это немаловажный показатель!». «А ведь они тоже правы», – подумал директор и ещё больше загрустил.

Итак, мы увидели, что, используя разные средние величины, мы получаем разные результаты, то есть каждый раз лучшим становится другой класс. Поэтому, чтобы выбрать самый лучший класс, надо сначала дать чёткое описание поставленной задачи, в зависимости от того, чего вы добиваетесь.

  • Если для вас важно количество «пятёрок» и неважно количество других оценок, то вам нужна мода.
  • Если важно, чтобы хотя бы половина оценок была «пятёрки» – тогда вам нужна медиана.
  • Если результат нужен для общего школьного рейтинга, то подойдёт средняя арифметическая.
  • А если для вас важно, чтобы в классе не было отстающих, то здесь можно обойтись без средних величин. Нужно просто посчитать количество «отстающих» по каждому классу. И у какого класса их меньше всего, тот и едет отдыхать в летний лагерь.

А какой класс отправили бы вы, будь вы на месте директора?