«Первое слово дороже второго»,— помнишь детскую дразнилку? Она применима и к цифрам — первая цифра «дороже» второй! Только это уже не дразнилка, а математический закон Бенфорда. Задирать кого-то с его помощью не получится, но обнаружить мошенников очень даже возможно.

Эта статья была опубликована в журнале OYLA №4(20). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

Возьми шестигранный игральный кубик, на сторонах которого изображены цифры от 1 до 6 — знакомая игральная кость. А теперь бросай. Долго, очень долго, например, 600 раз. И каждый раз записывай, какое число выпало на кубике. Но так уж и быть, не будем заставлять тебя ждать и раскроем секрет сразу. Теория вероятности утверждает, что каждое из шести чисел кубика выпадет приблизительно 100 раз (то есть, как говорят математики, вероятность выпадения каждой из цифр равна 1/6). Но чтобы это правило проявилось, нужно бросать кубик многократно (поэтому мы и попросили тебя об этом).

Если бросить его, к примеру, всего шесть раз, то вовсе не факт, что каждая из цифр выпадет всего по разу. А вот если бы ты проделывал это очень долго, то убедился бы, что чем больше бросаешь кубик, тем количество выпадений каждой цифры будет ближе к 1/6 от числа бросков. Но ведь при каждом бросании невозможно точно предсказать, какая выпадет цифра, все выпадения случайны — скажешь ты. Всё правильно, как правильно и то, что многократное бросание кубика подчиняется законам теории вероятности.

В нашем опыте получилось, что вероятность выпадения каждой цифры одинакова, то есть, при бросании шансы выпасть равны для каждой грани кубика. Математики называют такое выпадение цифр равномерным распределением. Только далеко не во всех случайных событиях вероятность одинакова для каждой из цифр: иногда теория вероятности показывает удивительные фокусы.

Саймон Ньюком 

1835−1909

Американский астроном, математик и экономист. Знаменит благодаря научным трудам по измерению скорости света, изучению происхождения астероидов и расчёту траектории движения космических тел.

Фрэнк Бенфорд 

1883−1948

Американский физик и инженер-электрик. Прежде всего знаменит благодаря своему закону, но также был экспертом в области оптических измерений (более 20 патентов на оптические измерительные устройства).

До появления калькуляторов и компьютеров в сложных математических расчётах, например, возведении чисел в степень или извлечении корня, учёные применяли специальные книги-таблицы, которые назывались логарифмическими. Наблюдательный американский астроном Саймон Ньюком в 1881 году обратил внимание на одну странность: те страницы этих библиотечных книг, где числа начинались с единицы, были сильно истрёпаны, а там, где числа начинались на девятку почти нетронуты. Как будто те, кто пользовался таблицами, значительно чаще работали с числами, начинающимися на единицу. Учёный, конечно, понимал, что никакого пристрастия к числам, начинающимся с единицы, ни у его коллег, ни у него самого не было. Правда, никаких выводов из своего наблюдения Ньюком не сделал.

А другой американский учёный — физик Фрэнк Бенфорд в 1938 году решил разобраться с такой особенностью чисел. Для этого он изучил более двадцати разных списков с числами, такими, как: площади бассейнов более 300 рек, численность населения стран, показатели смертности в разных государствах, молекулярные массы около 1800 разных веществ и т. д.

По всем показателям Бенфорд составил таблицы, где его интересовала только первая цифра в каждом из чисел. Казалось бы, все эти списки и числа случайны — примерно как результаты бросания кубика, и первая цифра в этих числах должна бы равномерно встречаться от 1 до 9. Но это было не так!

Вот такая неравномерная частота встречаемости первой цифры и называется законом Бенфорда, который иногда называют «законом первой цифры».

Чисел, начинающихся с единицы, оказалось более 30%, начинающихся с двойки, почти 18%, а те, что начинались с девятки — меньше 5%. Такое распределение чисел учёные называют ­неравномерным. Учёный составил таблицу, в которой отражено, с какой частотой встречается первая цифра в числах изучаемых им списков.

Очень упрощённо закон Бенфорда объясняется тем, что небольших предметов всегда больше, чем больших. Озёр с небольшой площадью больше, чем крупных, низких сооружений всегда больше, чем высоких, большое количество пострадавших в авариях встречается реже, чем небольшое. А в бухгалтерских операциях чаще встречаются небольшие суммы и реже — крупные. Конечно, есть у учёных точное математическое обоснование закона Бенфорда, но только при помощи «многоэтажных» формул и специфических терминов.

 Частота появления чисел ­(в процентах) от 1 до 9 в качестве первой цифры, в 20 229 наблюдениях Фрэнка Бенфорда

Интересно, что закон первой цифры проявляется на многих списках (таблиц) чисел, хотя и не на всех. Не применим он, к примеру, к списку выигрышных номеров в лото за несколько лет (потому что эти числа не являются размерами чего-то, они случайны так же, как числа при бросании кубика), к списку почтовых индексов или номеров телефонов (потому что первые цифры в этих номерах означают код региона или телефонной станции). Кроме того, чтобы можно было применить теорию вероятности — обязательно требуется достаточно большой объём таблицы. Так же, как для кубика: если бросишь его несколько раз, то можешь не увидеть как «работает» вероятность, нужно достаточно много бросков, чтобы закон вероятности «проявил себя».

В 1990‑х годах американский математик Марк Нигрини обратил внимание, что закону Бенфорда подчиняются числа в налоговых и бухгалтерских документах. Поэтому он составил специальную программу для проверки налоговых данных. Полезность программы в том, что несоответствие данных закону первой цифры вызывает подозрение в том, что они были кем-то «нарисованы», а не получены естественным расчётным способом (то есть какая-то фирма попыталась исказить суммы налоговых платежей и таким образом укрыться от обязательных выплат государству).

Дело в том, что налоговые службы не могут проверить все компании на правильность уплаты налогов — это физически невозможно из-за очень большого объёма данных. А программа Нигрини даёт возможность, условно говоря, «показать пальцем», какие данные нужно проверять. Это как если бы учитель в школе ещё до начала урока заранее знал, кто вероятнее всего урок не выучил, а потом проверил бы это, вызвав к доске (правда, пока такой программы, к счастью для многих школьников, ещё нет).

Но при помощи закона Бенфорда можно выявлять не только налоговые афёры. Ему подчиняются и данные других бухгалтерских операций. Известен случай, когда предприниматель-мошенник Кевин Лоуренс в США собрал более 90 млн долларов от инвесторов (вкладчиков денег в какой-либо бизнес), якобы на создание сети современных предприятий — клубов здоровья. Но собранные деньги растратил на предметы роскоши для себя и своих дружков, которые уводили средства через подставные компании, при помощи запутанных банковских переводов со счёта на счёт. 

Этому помешал грамотный бухгалтер по имени Даррелл Доррелл. Он проверил более 70 тысяч документов о переводе денег, касающихся подозреваемого предпринимателя, и обнаружил, что данные не соответствуют закону Бенфорда. Так он выяснил, что эти переводы не были «естественными» бухгалтерскими операциями бизнеса. Проверка установила факт мошенничества, и в 2003 году горе-предприниматель был приговорён к двадцати годам лишения свободы.

Данные о количестве поданных голосов на выборах за того или иного кандидата, собранные со всех избирательных участков, тоже подчиняются закону Бенфорда, и могут быть применены для выявления нарушений и при выборах. Правда, многие эксперты считают, что такой анализ малоэффективен, потому что может выявить только один вид нарушения из множества других, которые случаются при подсчёте голосов.

Кроме того, если нарушение заключается в том, что часть голосов, отданных за одного кандидата, на избирательном участке «перечислены» другому, то это законом Бенфорда не выявить, так как это выглядит как волеизъявление избирателей. Представь, например, что на каком-то избирательном участке кандидат А набрал 500 голосов, а кандидат Б — 400, а недобросовестный чиновник в выборный протокол записал всё наоборот: кандидат А набрал 400 голосов, а кандидат Б — 500. Это будет выглядеть вполне правдоподобно, а выявить обман можно только пересчётом бюллетеней, и никак иначе. И всё равно, закон Бенфорда полезно знать, чтобы не попасться в лапы мошенников и научиться их выявлять.