Откуда мы знаем, чему равен радиус Земли? Возможно, космонавты взлетели на ракете в космос и с высоты, когда Земля «как на ладони», взяли и измерили её. Но это требовало бы, во-первых, космонавта (и даже не одного), во-вторых, понадобится космический корабль и, наконец, потребуются очень большие расходы.

А что, если я скажу вам, что один очень любознательный человек без космонавта, корабля и спонсоров точно рассчитал радиус земли ещё за 200 лет до нашей эры? Давайте разберёмся, как ему это удалось.

Речь пойдёт о греческом математике Эратос­фене (276–194 год до н. э.), который отличался чрезвычайной любознательностью и острым умом. Во время своих странствий по Египту он услышал одну интересную легенду о загадочном колодце в городе Сиена. Согласно легенде, раз в год в полдень в городе «пропадали» все тени, а «волшебный» колодец сиял изнутри, вода же из этого колодца будто бы лечила все недуги.

Сделаем маленькое отступление, оно поможет нам понять ход мыслей Эратосфена. Он исходил из того, что Земля представляет из себя шар (не забывайте, что он был наблюдательным и умел задавать себе вопросы).

Когда Эратосфену стукнуло тридцать лет, царь Птолемей lll Эвергет пригласил его служить в великой Александрийской библиотеке, на что он с радостью согласился. Чтобы попасть из Греции в Александрию (которая находилась в Египте), Эратосфену пришлось пересечь Средиземное море. В путешествии при приближении к берегу он, как и моряки, наблюдал как вдали появлялся Александрийский маяк. Сперва он видел верхушку маяка, чуть позже уже верхнюю половину, а через некоторое время весь маяк. 

Почему маяк появляется постепенно? Самый логичный ответ: Земля имеет особое строение, а точнее — форму шара. Скорее всего, моряки были первыми, кто догадывался об этом, ведь им приходилось сталкиваться с подобными явлениями постоянно.

Итак, Эратосфен знал, что Земля представляет из себя шар. Вернёмся к вопросу: почему лучи солнца раз в год не падают перпендикулярно в других местах, как в городе Сиена? Напомним, что в это время Эратосфен жил в Александрии, которая находилась от Сиены на расстоянии 800 километров. В тот день, когда в Сиене тени «исчезали», в Александрии они падали под углом 7,5°.

Но как это смог выяснить Эратосфен? Всё достаточно просто, он нашёл высокий столб, высоту которого узнал у архитектора. Затем измерил длину тени, которую отбрасывал этот столб. А дальше справится любой школьник, ему просто нужно будет найти углы прямоугольного треугольника, зная длины всех его катетов. Расчёты показали, что углы этого треугольника равны: 7.2, 90 и 82.8°.

Вот теперь Эратосфену понадобилась его предположение о том, что Земля имеет форму шара.

Давайте мысленно соединим Александрию и Сиену с центром Земли. Чтобы найти угол получившегося сектора, воспользуемся аксиомой о параллельных прямых.

Этот угол будет равен тоже 7,2°, как одна из вершин тени. Так как Земля имеет форму шара, полный круг вмещает в себя 360°. А его часть (сектор) с углом 7,2° отмеряет на его поверхности расстояние 800 км (расстояние между Александрией и Сиеной). Чтобы подсчитать длину полной поверхности, мы должны знать, сколько таких частей будет в полном круге:

Длина каждой части окружности равна 800 км, общая длина окружности:

Так Эратосфен рассчитал длину окружности Земли. Современные расчёты показывают, что эта длина равна 40 075 км.

Зная длину окружности, не трудно посчитать радиус Земли, для этого нам понадобится формула длины окружности:

Откуда длина радиуса равна:

Здравые рассуждения и умение задавать себе вопросы могут решать, казалось бы, не самые простые проблемы. Так Эратосфену, чтобы вычислить размеры Земли, понадобилось только знать, под каким углом падают тени.