1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …

Вы узнали эту последовательность чисел? На первый взгляд, это хаотичный набор рациональных чисел. Однако, если мы начинаем статью именно с них, возможно, в них есть какая-то закономерность?

Однажды мастер Ву, герой мультфильма «Кунг-Фу Панда», сказал: «Случайности не случайны». Да, знание некоторых фактов о характерных числах, встречаемых в природе, может сделать вас транслятором занимательных знаний. Существует достаточно примеров числовых зависимостей, таких как «золотое сечение», «число Пи» и т. д.

На уроках математики вы встречали такие ряды чисел, как геометрическая прогрессия, арифметическая прогрессия, экспоненциальный ряд. Любой ряд – это набор чисел, подчиняющихся определённой закономерности. А теперь вернёмся к ряду, который мы привели в начале статьи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… Этот ряд называется рядом чисел Фибоначчи, в котором каждое последующее число является суммой двух предыдущих. Загадка этого ряда таится в отношениях его членов. Это отношение и есть «золотое сечение» (в бесконечности отношение соседних чисел стремится к золотому сечение 8/5, 13/8, 21/13, 34/21 ...), встречаемое повсюду: в морских ракушках, в теле человека, в лепестках цветов, в произведениях искусства. Сегодня мы будем искать эти и другие интересные числовые отношения в химии.

Начнём с периодической таблицы элементов. Каждому школьнику известно, как выглядит эта таблица. Вертикальные группы элементов расположены в строгой последовательности их атомных номеров, которые соответствуют количеству протонов в их ядре. Рассмотрим первую группу периодической системы – группу щелочных металлов. А точнее – их бинарные соединения с галогенами.

Отношение короткого отрезка а к большему отрезку b (b > a) линии, поделённой таким образом, чтобы выполнялось равенство b/a = (a+b)/b, называется «золотым сечением».

Число, равное отношению b/a, обычно обозначается прописной греческой буквой Ф в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия. Из исходного равенства нетрудно получить, что число Ф = (1 + sqrt(5))/2 = 1,618… Обратное же значение a/b обозначается буквой ф, для которого верно равенство ф = Ф - 1 = 0,618...

Аналогичной линией для химических элементов является расстояние между ядрами атомов в соединениях. Пусть короткий отрезок линии а – это ковалентный радиус атома галогена Х, а длинный отрезок b – это соответствующий радиус щелочного металла М. Тогда Х/М для пяти элементов первой группы (литий Li, натрий Na, калий K, рубидий Rb и цезий Cs) составляет 0,605 ± 0,043 с экспериментальной погрешностью 7% (см. таблицу 1). Причём с увеличением межъядерного расстояния отношение стремится к Фибоначчиевому золотому сечению 0,6180.  

А что же с положением этих элементов в периодической таблице? Для определения их позиции в Фибоначчиевой системе, мы используем длину связи фторида лития (приведена в таблице LiF). Нарисуем прямоугольник со сторонами a+b и b (где a и b – радиусы атомов лития и фтора), а затем пририсуем к нему квадрат b x b, получим большой прямоугольник со сторонами a+b и b для пары натрий – хлор. Продолжаем рисовать к ним квадраты, увеличивая стороны a+b и b. Если нарисовать в центре каждого квадрата щелочной металл в порядке увеличения атомного номера, получим рисунок 1. Таким образом становится очевидным расположение элементов согласно схеме Фибоначчи. Если нарисовать вместо прямых линий более плавные кривые, можно получить логарифмическую спираль Фибоначчи. 

Итак, мы выяснили, что периодическая таблица может выглядеть по-другому. Проделав вышеописанные расчёты для остальных элементов, мы получим спиралевидную таблицу химических элементов, аналогичную остальным спиралям, встречаемых в природе и во вселенной. Роль групп химических элементов в такой таблице выполняют лучи от центра спирали.

На этом сюрпризы Фибоначчи для химиков не заканчиваются. Учёным удалось обнаружить соединения, основанные на числах Фибоначчи, при изучении оксидов урана и хрома. Между оксидами урана UO ₂ и UO₃ образуется целый ряд промежуточных соединений, состав которых описывается формулами U₂O₅, U₃O₈, U₅O₁₃, U₈O₂₁, U₁₃O₃₄. Давайте, перепишем индексы через одно: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Знакомая последовательность? Как видим, в них отношения атомов равны отношениям чисел Фибоначчи, расположенным через одно. Мы уже знаем, что такое отношение в пределе стремится к золотой пропорции.

Каждый из описанных оксидов урана может быть представлен в виде суммы двух граничных оксидов ряда UO₂ и UO₃, взятых в различных пропорциях, например:

U ₅O₁₃ = 3UO₃ + 2UO₂;

U ₈O₂₁ = 5UO₃ + 3UO₂.

Коэффициенты перед оксидами UO ₃ и UO₂ отвечают рядом расположенным числам Фибоначчи. Вот и получается, что состав рассмотренных оксидов урана полностью подчиняется числам Фибоначчи, расположенным не случайно, а строго закономерно. Заметим, что аналогичный состав имеют и оксиды хрома Cr₂O₅, Cr₃O₈, Cr₅O₁₃, Cr₈O₂₁.

Химическое соединение можно рассматривать в виде ассоциаций, состоящих из атомов (ионов) различных элементов и подвижных валентных электронов, ответственных за образование химических связей между атомами. Так, например, в оксид Cr₂O₅ на 7 атомов хрома и кислорода приходится 10 валентных электронов. Если произвести аналогичные расчёты для всех оксидов ряда Фибоначчи, получим следующие отношения сумм валентных электронов к суммам атомов: 10/7; 16/11; 26/18; 42/29; 68/47. Заметим, что числители этих дробей связаны «фибоначчиевым» отношением, а знаменатели представляют собой так называемые числа Люка. Если теперь последовательно уменьшим числители и знаменатели этих дробей на числа Фибоначчи, отвечающие количеству атомов металлов в соединениях: 2, 3, 5, 8, 13 (Cr₂O₅, Cr₃O₈, Cr₅O₁₃, Cr₈O₂₁), то в результате получим ряд отношений соседних чисел Фибоначчи 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; в пределе эти отношения стремятся к золотой пропорции.

Эти и другие примеры целочисленных отношений атомов в химических соединениях не являются правилами и канонами, однако подумайте, может ли золотая пропорция стать основой оптимальной организации химических соединений. Сколько ещё математических загадок не разгаданы в области химии? Изучая этот удивительный предмет, мы не всегда понимаем, почему именно в определённых числовых отношениях связываются атомы, и зачастую нам приходится просто запоминать. Решить эту и многие другие загадки природы нам снова помогает математика.