Қапарайымдылығы мен айқындығына қарамастан, Дирихле қағидасы теоремаларды дәлелдеуде және бір қарағанда шешу мүмкін еместей болып көрінетін есептерді шешу кезінде қолданылады.

Бүкіл әлем математиктері Дирихле қағидасын көжектер мен қораптарды мысалға ала отырып түсіндіреді (ағылшын тілді елдерде көгершіндер мен қораптар қолданылады). Бұл қалыптасқан дәстүрді біз де бұзбайық. Тек бұл қағиданың пайда болғаны үшін неміс математигі Петер Густав Леж Дирихлеге қарыздар екенімізді айта кеткіміз келеді.

Қандайда бір мөлшерде көжектер (m) мен қораптар(n) бар делік. Және көжектердің саны қораптардың санына қарағанда көбірек (m > n). Барлық көжектерді қораптарға орналастырамыз. Сонда бір қорапта бір көжектен көбірек болады.

Ойланып көріп, шешім шығарамыз: алдымен қораптарға n көжектерді салып шығамыз. Қалған көжектер саны m-n -ге тең болады. Тапсырма шарты бойынша, барлық көжектер қорап ішінде болуы тиіс. Сәйкесінше, n-m көжектерді біз бос емес қораптарға сала бастаймыз. Сондықтан даішінде бірден көп көжектері бар қораптар да болады.

Біз қарапайым ойлау жүргіздік, бұдан қиынырақ мысалдарды математикалық индукция әдісін пайдалану арқылы өз еріктеріңізбен ойластыруды ұсынамыз. Дирихле әдісін пайдаланудың басты қиыншылығы анықтаманың ауырлығында: не «көжек», ал не «қорап». Бұл жағынан бізге көмекке келетін бірнеше тапсырманы қарастырып көрелік. 

№1 мысал. Классикалық мысал – қала тұрғындарының шаштары.

Дирихле қағидасы Алматы қаласында шаштарының саны бірдей кем дегенде екі адам тұратынын дәлелдеп бере алады. Әрине, бұл жерде таздар есепке алынбаған. Төменде пайымдау жолы берілген:

Алдымен Алматыда тұратын адамдар санын анықтап аламыз. Халық саны туралы соңғы санаққа орай, қалада 1 552 349 адам тұрады. Ары қарай орташа статистикалық адам шашының саны 150 000-нан артық емес деген деректі пайдаланамыз. Енді жалпы қала тұрғындарының санынан басында бір, екіден бастап, 150 000-ға дейінгі шашы бар бір-бір адамды алып тастайық. Нәтижесінде біз 150 000-нан артық емес адамдарды бөліп аламыз (себебі, қалған 1 402 349 тұрғынның 1-ден 150 000-ға дейін шашы болуы мүмкін). Олардың кез келгені (басындағы шаш мөлшеріне қарай жинақталған) топтардың біреуіне қосылуы мүмкін.

№1 есеп. 145 тұқым 12 метр көлемдегі егіске 12 метрге шашылған. Осы жерде кемінде екі тұқым бір-бірінен √2 метрден кем қашықтықта түскенін дәлелдеңіздер. Көмек: Пифагор теоремасын еске түсіріңіздер. 

№2 мысал. Түрлі-түсті шұлық және қараңғылық.

Барлық шұлықтарыңыз тек қара және ақ түсті деп елестетіңіз. Кезекті кір жуғаннан кейін олар араласып кеткен. Бір түсті жұп шұлық табу үшін қарамай тұрып, кем дегенде қанша шұлық алуыңыз керек?Шұлықтар дәл бір ғажайыптағы секілді, сіз оларды алып шыққаннан кейін, өз түстеріне орай ақ және қара қорапқа түседі. Сіз алып шыққан алғашқы шұлық ақ түсті болды деп есептелік, енді ойластырайық, келесі шұлық та ақ түсті болса ше? Бұл жағдайда, есеп шарты орындалды, алайда, келесі шұлық қара түсті де болуы мүмкін ғой. Тағы бір рет қайталап, келесі не қара, не ақ шұлықты алып шығамыз. Сәйкесінше, үшінші шұлық бастапқы шұлықтардың біреуіне міндетті түрде жұп болады (егер шұлық әлі жұптаспаған болса). Есебіміздің жауабы – екі түс кезінде алып шығуға тиесілі ең аз шұлық саны үшке (3) тең.

№2 есеп. №2 мысалда көрсетілген есепті ақ шұлықтардың саны 14, қара шұлық саны 10 болған жағдайда шешіңіз.

№3 мысал. Үштік дәрежесі.

Жоғарыдағы мысалдарда біз шарттағы элементтердің ақтық санын қарастырдық. Келесі есепті шығарып көрейік:

001 сандарына аяқталатын үштік дәреже (3^a) бар екенін дәлелдеңіздер.

Үштік дәрежесіне 3⁰ =1, 3¹ = 3, 3² =9, 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243 осылай жалғаса беретін сандар жатады. Осы сандарды 1000-ға бөліп, барлық мүмкінді қалдықтарды көшіреміз (r):

3^a = 1000k + r

Мысалы 3¹⁰ = 59 049 = 59000 + 49 (қалдық), 3¹¹ = 177 147 = 177000 + 147 (қалдық) және тағы басқа. Үштік дәрежелері шексіз көп болғандықтан, 0-ден 999-ға дейінгі қалдықтар тура 1000 дана болады. Дирихле қағидасын пайдаланып, 1000-ға бөлген кезде үштіктің екі дәрежесінде бірдей қалдық қалатынын дәлелдейміз. Бұл 3^m және 3ⁿ сандары болсын.

3^m = 1000k + r

3ⁿ = 1000q + r

Олардың айырмашылығын есептейміз: 3^m - 3ⁿ= 3ⁿ(3^(m-n) - 1) = 1000k + r - 1000q - r = 1000(k-q), басқаша айтқанда - 3ⁿ және (3^(m-n) - 1) көбейтіндісі 1000-ға еселенген. Біз n дәрежесінің қандай мәнінде болмасын, 3ⁿ саны 1000-ға еселенуі мүмкін емес екенін білеміз. Сәйкесінше, 1000-ға еселі (3^(m-n) – 1) саны болуы тиіс:

3^(m-n) - 1 = 1000(k-q)

немесе

3^(m-n) = 1000(k-q) +1

Осылайша, 001 сандарына аяқталатын үштік дәрежесі бар екенін дәлелдедік!

№3 есеп. 17 санының 0001 сандарына аяқталатын дәрежесі бар екенін дәлелдеңіздер.