Пример 1

Найти значения следующих высказываний:

• A = «Париж — столица Франции»
• B = «2+3 = 2*3»
• С = «Луна вращается вокруг Земли»

Высказывания A и C являются истинными, высказывание B — ложным, то есть: A = 1, B = 0, C = 1.

Пример 2

Какие предложения являются высказываниями?

• Давай, убери свою комнату.
• Приходи сегодня на стадион играть в футбол.
• Зачем ты выкинула эту игрушку?
• Где находится школа?

В отношении этих предложений невозможно сказать, истинны они или ложны.

Не являются высказываниями повелительные и вопросительные предложения, потому что они не обладают свойством быть истинным или ложным.

Пример 3

Являются ли высказываниями следующие предложения?

• 2x + 8 > 20.
• Завтра я сдам экзамен по математике на «отлично»!
• Черепахи не летают, потому что холодильник закрыт.
• Я — сладкоежка, значит я люблю кататься на лыжах.

Являются ли они высказываниями? На первый взгляд — да. Но невозможно определить, истинны они или ложны. Чтобы понять истинно или ложно первое высказывание, необходимы дополнительные сведения. Вот если бы было написано так: «2х+8>20, при х > 6», то это было бы логическим высказыванием. О втором высказывании также нельзя сказать, истинно оно или ложно, потому что оно неопределённо и зависит от воли случая. Можно хорошо подготовиться, но если попадётся сложный билет или будет строгий экзаменатор, то можно получить и «тройку». А можно выучить только один билет, и, если тебе повезёт — попадётся именно он, тогда ты получишь «пятёрку». Ну а высказывания под номерами 3 и 4 — вообще бессмысленны, что также не позволяет назвать их логическими высказываниями. Логическими высказываниями также не могут быть бессмысленные предложения, а также высказывания, в которых присутствует неопределённость или недостаток информации.

Логические высказывания бывают простыми и сложными. Высказывание называется простым (элементарным), если оно является неделимым и никакая его часть сама не является высказыванием.

Пример 4

Даны два простых неделимых высказывания:

• Отец старше сына
• Отец младше деда

Эти два высказывания можно объединить в одно: «Отец старше сына, но младше деда». Получилось сложное высказывание.

Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых высказываний.

Операция 1. Инверсия

Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно, и ложна, когда высказывание истинно.

Пример

Дано высказывание  А = Я вчера катался на велосипеде.

Тогда его инверсия B = Я вчера не катался на велосипеде.

Если А=0 (ложно, т.е. вы лукавите, когда говорите, что катались на велосипеде), тогда Ā=1 (истинно, и вы действительно не катались на велосипеде).

Если А=1 (истинно, т.е. вы действительно катались на велосипеде), тогда Ā=0 (ложно, т.е. вы говорите неправду).

Операция 2. Конъюнкция

Сложное высказывание, образованное в результате конъюнкции, истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.

Пример

Даны два простых высказывания:  А = Я вчера катался на велосипеде, В = Я вчера ел шоколадный торт

Тогда, в результате конъюнкции этих высказываний, получим новое высказывание А*В = Я вчера катался на велосипеде и ел шоколадный торт.

В каких случаях это высказывание истинно?

1. Очевидно, что, если высказывания А и В истинны, то и высказывание А*В истинно.
2. Если же вы катались на велосипеде (А=1) и ели медовый торт (В=0), тогда А*В — ложно.
3. Если вы все-таки ели шоколадный торт, но катались на снегоходе, тогда А*В опять ложно.
4. Если же вы не катались на велосипеде и не ели шоколадный торт (потому что, например, целый день были в горах), то и в этом случае А*В ложно.

Операция 3. Дизъюнкция 

Сложное высказывание, образованное в результате дизъюнкции, истинно тогда и только когда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний

Пример

Даны два простых высказывания: А = В субботу я хочу покататься на велосипеде, В = В субботу я хочу поиграть с друзьями в футбол.

Тогда, в результате дизъюнкции этих высказываний, получим новое высказывание А+В = Я хочу покататься на велосипеде или поиграть с друзьями в футбол.

В каких случаях можно будет считать, что ваши планы на субботу осуществились? Итак, ваш день может пойти по четырем разным сценариям:

• Вы покатались на велосипеде (А=1) и успели поиграть с друзьями в футбол (В=1). В этом случае А+В=1, и можно считать, что день удался.
• Вы покатались на велосипеде (А=1) и сыграли с друзьями в лото или вообще не смогли с ними встретиться (В=0). Тогда А+В=1, что тоже вас устраивает.
• У вас нет велосипеда или он сломался (А=0), но с друзьями вы все-таки сыграли в футбол (В=1). Тогда А+В=1, что также для вас неплохо.
• И только, если вам не удалось ни прокатится с ветерком на велосипеде (А=0), ни сыграть в свой любимый футбол (В=0), тогда А+В=0. День для вас прошел впустую.

Операция 4. Импликация  

Сложное высказывание, образованное в результате импликации, ложно тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно и истинно во всех остальных случаях.

Пример

Даны два простых высказывания: А = Папа починит велосипед, В = Я буду кататься на велосипеде

Тогда, в результате импликации этих высказываний, получим новое высказывание A=>B = Если папа починит велосипед, то я смогу на нем кататься.

В каких случаях это высказывание истинно?

• Однозначно, что если папа починит велосипед (А = 1), то вы сможете на нем покататься (В = 1). Следовательно, A=>B = 1 (истинно).
• А можете и не кататься (расхотели). Тогда В=0, и A=>B =1.
• Очевидно и то, что, если папа не починит велосипед (А = 0), то вы никак не сможете на нем покататься (В=0). В этом случае A=>B=1 (истинно).
• При этом не может быть, что если папа не починит велосипед (А = 0), то вы сможете на нем покататься (В=1). В этом случае A=>B = 0 (ложно).

Операция 5. Эквиваленция 

Сложное высказывание, образованное в результате эквиваленции истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Пример