18 апреля 2017 г. | Автор: OYLA
В поисках X

На протяжении веков математика помогала людям решать насущные вопросы, такие как дележ наследства и посев урожая. Сегодня мы расскажем вам о том, как появлялись первые уравнения и зачем они были нужны. Не беспокойтесь, если вы подзабыли школьный курс алгебры или геометрии, здесь не будет тестов, задач или сложных формул. Наоборот, мы постараемся открыть математику с другой, более увлекательной стороны.

Добро пожаловать в Вавилон

Вавилон - одна из первых цивилизаций в истории человечества. Вавилонцы прославились изобретением по-настоящему крутых вещей: земледелия, строительства и письменности. В этом им помогло знание основ математики. Когда сеять и собирать урожай? Необходим календарь. Как строить дома и дворцы? Необходимы архитекторы, которым, в свою очередь, нужна геометрия. Именно вавилонцы придумали измерение углов и определили, что круг делится на 360 градусов.

Даже в древних законах использовались математические соотношения. Например, закон о наследстве: “Наследство родителя следует разделить таким образом, чтобы часть, полученная дочерью, была в два раза меньше части сына”. Считалось, что дочери получат свою часть богатств в семье мужа, а сыну необходимо содержать уже свою. “Какая часть наследства полагается мне?” - таким вопросом задавался ребенок, независимо от пола.

Давайте рассмотрим семью, в которой была одна дочь и два сына. Предположим, что отец оставил им в наследство 1000 кв.м посевных полей. Как понять, сколько земли достанется каждому?

Сейчас мы распишем, как примерно вавилонцы решали этот вопрос. Для упрощения, долю дочери обозначим через x. Следовательно, доля сына будет равна 2х. Если перевести это на язык математики, то получится, что:

1000 кв.м = x + 2x + 2x= 5х, то есть:

наследство = доля дочери + доля сына + доля сына

Теперь мы смогли вывести закономерность между известными величинами и неизвестными (5x = 1000). Осталось лишь освободить x от пятерки. Для этого разделим обе части уравнения на 5. Из чего получаем x = 200 - корень нашего уравнения, а заодно и доля дочери. Далее не сложно посчитать, сколько получит каждый сын - по 2x, то есть по 400 кв. м.

Вавилонская финансовая полиция

После того как наследство распределено и получено, наши герои из примера должны приступить к посеву урожая. Под щедрым месопотамским солнцем урожай обещает быть богатым, что сделает фермера не только счастливым, но и состоятельным.

Опытный вавилонский земледелец знал, что если он удвоит длину каждой из сторон своего участка, то сможет вырастить в четыре раза больше зерна, чем до этого.

То есть, количество урожаяпропорционально квадрату стороны. Давайте запишем в виде формулы, где с - это количество урожая, m - урожай с участка площадью 1х1, а х - это длина стороны квадратного участка:

Вуаля! Именно так выглядело первое в истории квадратное уравнение.

Пока что счастливому землевладельцу не надо его решать - он просто высаживает зерна и собирает урожай. Но в один прекрасный день на пороге его дома появится сборщик налогов. Он потребует оплатить налог: “Я хочу, чтобы ты отдал мне такое-то (назовем его с) количество зерна”. Наш герой решит эту проблему так: на своем поле он выделит квадратный участок, урожай с которого будет уходить на уплату налогов. Так как сборщик точно обозначил количество урожая, которое ему нужно, землевладельцу осталось выяснить, какой длины должна быть сторона его участка для налогов.

То есть, вам нужно найти x - корень квадратного уравнения, записанного выше. Сейчас мы можем просто ответить на этот вопрос:

Отец алгебры

К сожалению, вавилонцы не оставили после себя общей методики решения квадратных уравнений. Для продолжения рассказа нам будет нужно переместиться в будущее, а именно, в начало IX века, в город Багдад. В то время там жил выдающийся ученый аль-Хорезми.

Даже спустя века, людей продолжали волновать вопросы наследования и налогообложения. Именно они привели аль-Хорезми к созданию фундаментального труда, положившего начало алгебре. В своей книге великий ученый описал более сложный тип взаимоотношений между тремя числами. Помимо известного числа и неизвестного (x) он также рассматривал квадрат неизвестного числа x2.

В качестве примера аль-Хорезми приводит следующую задачу: чему будет равен х в этом уравнении x2 + 10x = 39? Тогда в привычном для нас виде уравнения не записывались. Они выглядели так: “Чему равен квадрат, если при прибавлении к нему десяти его корней, он будет равняться 39?” (под корнем подразумевается неизвестный x).

Эта задача намного серьезнее тех, с которыми мы сталкивались до сих пор в нашем рассказе. Выявить x нам не помогут ни деление обеих частей уравнения на x, ни вычитание 39 с обеих сторон. Аль-Хорезми смог описать элегантное решение, которое подходит для всех видов квадратных уравнений. Этот свод правил в будущем назовут алгоритмом (от имени создателя аль-Хорезми). 

Собирая квадрат

Идея аль-Хорезми заключалась в том, чтобы представить каждый элемент равенства геометрически.

x2- как площадь квадрата со стороной x


10x - как площадь прямоугольника со сторонами 10 и x, которую, в свою очередь, можно разбить на два прямоугольника со сторонами 5 и x.

Теперь совместим рисунки вместе.

Если площадь полученной фигуры равна 39, то чему равен x? Если посмотреть на пустующий угол, то следующий шаг напрашивается сам. Необходимо заполнить угол, дорисовав недостающий квадрат со сторонами 5 на 5, и, тем самым, собрать большой квадрат. Площадь большого квадрата теперь равна x2 +10x +25. Если заметить, что сторона квадрата равна x+5, то можно переписать ее как (x+5)2. Так как мы добавили 25 единиц площади слева, необходимо добавить столько же справа. 

Если извлечь корень из обеих частей, то получим

Не трудно проверить, что x=3 является корнем исходного уравнения.

Вы, наверное, заметили, что аль-Хорезми “потерял” корень уравнения. Как это могло произойти? Если присмотреться к ключевому уравнению, то его решением будет х = -13 и х = 3.

Когда мы возводим отрицательные числа в квадрат, мы всегда получаем положительные. И каждый раз, когда мы проделываем обратную операцию - извлекаем квадратный корень - нужно быть аккуратными. Не запутаться в этом нам поможет функция модуля, которая всегда переводит х в положительное значение.

Эта запись равносильна системе двух уравнений

Давайте вернемся к решению аль-Хорезми. В то время отрицательные значения x всерьез не воспринимались. И вправду, квадрат со стороной х = -13 геометрического смысла не имеет.

Позже ученые признали, что метод Аль-Хорезми работает для всех квадратных уравнений. И если записать квадратное уравнение в общем виде, (где a,b,c - известные числа, а x - неизвестное значение), то все корни уравнения, будь то отрицательные или положительные, находятся по одной из самых знаменитых формул в истории: