23 октября 2017 г. | Автор: Айымжан Байтуреева*
Логарифм

*Магистрант под научным руководством Исахова А. А., PhD математического и компьютерного моделирования

Задумывались ли вы о том, как люди считали в далёкие времена, когда не было ни калькуляторов, ни компьютеров? Расчёты выполнялись вручную, на бумаге или в уме. Хотя задачи, с которыми они сталкивались, были такими же сложными, как и современные.

Отсутствие вычислительных машин подталкивало древних математиков к упрощению вычислений. Они придумывали таблицы с уже рассчитанными выражениями (например, таблица умножения), искали пути замены сложных операций простыми. Сегодня мы поговорим об одном подобном «упрощении» или о том, как люди научились заменять умножение сложением, а деление – вычитанием. Благодаря этому был изобретён логарифм. Чтобы понять, что это, нужно сделать всего три шага.

ШАГ 1: Упрощать и ещё раз упрощать

Начнём с простого примера.

2 + 2 = 4

Давайте усложним задачу и найдём сумму пяти двоек.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

И с этой задачей мы легко справились. А если нужно найти сумму 1 000 000 двоек? Использование аналогичного метода расчёта займёт уйму места и времени. Но хитрые математики поняли, как это легко сделать. Они придумали операцию умножения. Давайте посмотрим как это выглядит:

До изобретения умножения После
2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 2 × 5 = 10
2 + 2 + 2 + ... + 2  = 2 000 000 2 × 1 000 000 = 2 000 000


Запись стала короче и понятнее. Далее возникла другая проблема: как быстро и экономно считать произведение одинаковых чисел? Например, попробуем найти произведение семи двоек.

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128

Для упрощения этого выражения математики придумали операцию возведения в степень. Ясно, что речь идёт об умножении одного и того же числа на себя n раз, зачем его дублировать и записывать снова и снова? Не легче ли написать так?

Здесь а – основание степени, n – показатель степени. Таким образом, мы значительно укоротили запись. Независимо от величины показателя степени, выражение будет выглядеть весьма лаконично:

До изобретения умножения После
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2  = 128 2 7 = 128

Михаэль Штифель (1487–1567) — немецкий математик, внёс значительный вклад в развитие алгебры и таких её областей как прогрессии, возведение в степень и отрицательные числа. Штифель впервые использовал понятия «показатель степени» и «корень». Несмотря на то, что учёный фактически использовал логарифмы, слава первооткрывателя досталась шотладскому математику Джону Неперу (1550–1617).

ШАГ 2: Понять свойства степеней

Как мы уже говорили, древние математики не обременяли себя расчётами каждый раз, когда им нужно было помножить или сложить числа, а использовали таблицы с заранее рассчитанными результатами. Очень удобно! Пользуясь подобной таблицей, немецкий математик Михаэль Штифель заметил интересную закономерность между арифметической и геометрической прогрессией. 

Арифмитическая прогрессия 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Геометрическая прогрессия 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
Степенная запись 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10

Давайте и мы попробуем её увидеть. Ведь эта закономерность позволяет упростить операции умножения и деления. Пусть нам необходимо посчитать произведение двух чисел:

16 × 64 =  ?

Прежде чем браться за расчёты, взгляните на таблицу и найдите эти числа: это члены геометрической прогрессии с шагом 2. Числа, стоящие над ними в верхнем ряду: 4 над 16; 6 над 64 – это члены арифметической прогрессии. Сложим эти числа: 4 + 6 = 10. Теперь смотрим, какое число стоит под цифрой 10 во втором ряду – 1024. А ведь если выполнить наше изначальное задание 16х64, то результат будет равен 1024. Это значит, что, пользуясь таблицей и умея лишь складывать цифры, можно легко находить произведение.

Теперь рассмотрим операцию деления:

Снова посмотрите на таблицу и найдите соответствующие числа из верхнего ряда. Получим 10 и 7 соответственно. Если при умножении мы складываем, то при делении мы вычитаем: 10–7  =  3. Смотрим на число, стоящее под числом 3 во втором ряду, это 8. Следовательно, 1024:128 = 8.

Точно так же можно использовать таблицу для операций возведения в степень и извлечения корня.

Например, нам надо возвести 32 в квадрат. Смотрим на число, стоящее над 32 в верхнем ряду. Получаем 5. Умножаем 5 на 2. Выходит 10, далее смотрим на число, стоящее под 10: 1024. Отсюда 322  = 1024.

Рассмотрим извлечение корня. Например, найдём корень третьей степени от числа 512. Над числом 512 в верхнем ряду стоит 9. Разделим 9 на 3, получим 3. Находим соответствующее число во втором ряду. Получим 8. Следовательно, 83 = 512.

Все четыре примера – это следствие свойств степеней, которые можно записать следующим образом:

ШАГ 3: Назовём это логарифм

Разобравшись со степенями, попробуем решить маленькое уравнение:

2x = 4

Данное уравнение называют показательным. Так как х, который нам необходимо найти, является показателем степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 4. Решение уравнения х  = 2.

Рассмотрим другой аналогичный пример:

2x = 5

Ещё раз проговорим условие, мы ищем число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Этот вопрос ставит нас в ступор. Решение наверняка существует, например, если нарисовать графики этих функций, то они пересекаются. Но что бы найти его, нам придётся искать его методом проб и ошибок. А это могло занять много времени.

Поэтому древние учёные придумали логарифм, они знали, что решение уравнения существует, но оно не всегда было нужно сразу. Математически это записывается так: х  =  log25. Вот мы и нашли решение уравнения 2x  = 5. Ответ: х  =  log25. Если же привести точный ответ, то х = 2,32192809489… , причём эта дробь не заканчивается никогда.

Выражение читается следующим образом: логарифм числа 5 по основанию 2. Запомнить это легко: основание всегда пишется внизу, и в показательных и в логарифмических записях.

Свойства логарифма

Логарифмы имеют ограничения. В математике существуют два жёстких ограничения.

а) Нельзя делить на ноль

б) Извлекать корень чётной степени из отрицательного числа (так как отрицательное число, возведённое в квадрат, всегда будет положительным).

равносильно записи

ax = b

Ограничения на а

а — это основание, которое нужно возвести в степень x, чтобы получить b.

Если a  = 1. Единица в любой степени будет давать единицу.

А если а меньше нуля? Отрицательные числа — капризные. В одну степень их можно возводить, в другую — нельзя. Поэтому их тоже исключаем. В результате получаем: а > 0; a ≠ 1

Ограничения на b

Если положительное число возвести в любую степень, получим также положительное число. Отсюда: b > 0. x может быть любым числом, так как мы можем возводить в любую степень.

Если b  = 1. то при любом a значение x = 0.

Операции над логарифмами

Учитывая основные свойства степеней, выведем аналогичные и для логарифмов:

Сумма. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

Разность. Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

Степень. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Переход к новому основанию. Формула модуля перехода ( то есть перехода от одного основания логарифма к другому основанию):

iv>

В частном случае при N = a имеем:

Логарифмы на практике

ЗАДАЧА

В начальный момент времени было 8 бактерий. Через 2 часа после помещения бактерий в питательную среду, их число возросло до 100. Через какое количество времени с момента размещения в питательную среду следует ожидать появления 500 бактерий?

РЕШЕНИЕ

Из курса биологии мы помним, что бактерии размножаются путём деления. То есть, если в начале мы имеем 2 бактерии, после деления имеем 2 × 2 = 4 бактерии. Далее аналогично: 4 бактерии продолжают делиться и мы получаем ещё 4 бактерии, то есть теперь у нас 4 × 2 = 8 бактерий. Или, 2 × 2 × 2  =  23  =  8.

Для решения данной задачи, необходимо также вспомнить понятия скорости и ускорения. Согласно условиям, имеем:

1 изменение
Было 8 бактерий.
Стало 100 бактерий.
Следовательно,
8x = 100  => x =  log8100  =>
 => log8100 – конечное значение скорости распространения бактерий при первом изменении Vкон.1

2 изменение
Было 8 бактерий.
Стало 500 бактерий.
Следовательно,
8y = 500  => y =  log8500  =>
 => log8500 – конечное значение скорости распространения бактерий при первом изменении Vкон.2


Составим формулу для ускорения, учитывая, что начальная скорость Vнач =  log88 (т.е. было 8, стало 8):

Так как ускорение постоянно, то

Для того, чтобы можно было воспользоваться табличными значениями, перейдём к натуральному основанию логарифмов:

ОТВЕТ

Посчитав значения на калькуляторе либо подставив табличные значения, получим ответ: 196,5 минут, то есть приблизительно 3 часа 16 минут.